PRIMOS,MMC E MDC

Decomposição em fatores primos

Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto em um produto de dois ou mais fatores.

Decomposição do número 24 em um produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3

No produto 2 x 2 x 2 x 3, todos os fatores são primos.

Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 em um produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3.

De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior
que 1, a sua decomposição em um produto de fatores primos.

Regra prática para a fatoração

Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:

1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;

2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.

A figura mostra a fatoração do número 630.

Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
630 = 2 x 32 x 5 x 7.

Na prática, determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:

1º) decompomos o número em fatores primos;

2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número;

3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo;

4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.

Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.

Alguns exemplos:
mdc (6,12) = 6
mdc (12,20) = 4
mdc (20,24) = 4
mdc (12,20,24) = 4
mdc (6,12,15) = 3

Cálculo do M.D.C.

Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.

1) decompomos os números em fatores primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.

Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 =     2 x 3 x 3 x 5

O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3
Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:
36 = 22 x 32
90 = 2 x 32 x5
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.

O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.

Cálculo do M.D.C. pelo processo das divisões sucessivas

Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).

Regra prática:

1º) dividimos o número maior pelo número menor;
48 / 30 = 1 (com resto 18)

2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente;
30 / 18 = 1 (com resto 12)

18 / 12 = 1 (com resto 6)

12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)

3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

Números primos entre si

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo
divisor comum desses números é 1.

Exemplos:
Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.
Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

Propriedade do M.D.C.

Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:

6 = 2 x 3
18 = 2 x 32
30 = 2 x 3 x 5
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados.

Como 24 é divisível por 3, dizemos que 24 é múltiplo de 3.

24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então
dizemos que ele é múltiplo desse outro.

Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.

Exemplo: os múltiplos de 7 são:
7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ...  =  0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...

Observações importantes:
1) Um número tem infinitos múltiplos
2) Zero é múltiplo de qualquer número natural

O que é M.M.C.?

Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:
Múltiplos de 6:  0, 6, 12, 18, 24, 30,...
Múltiplos de 4:  0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...
Múltiplos comuns de 4 e 6:  0, 12, 24,...

Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.

Cálculo do M.M.C.

Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:

1º) decompomos os números em fatores primos
2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:

12   =  2  x  2  x  3
30   =   2  x  3   x  5
m.m.c (12,30)  = 2  x  2  x  3   x  5

Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:
12 = 22  x  3
30 = 2   x  3  x  5 
m.m.c (12,30)  = 22  x  3  x  5

O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.

Processo da decomposição simultânea

Neste processo, decompomos todos os números ao mesmo tempo, em um dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. A seguir vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60).

Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

Propriedade do M.M.C.

Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:

m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, entãoele é o m.m.c. dos números dados.

Considere os números 4 e 15, que são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.